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历史注记

（章VI和VII）

（注：括号中的罗马数字指的是注末尾的参考书目。）

基本算术运算，特别是运算和分数，不可避免地会导致数关于整数之间整除的经验观察。 但巴比伦人（尽管他们在代数方面是专家）和埃及人（尽管他们在操纵分数方面拥有杂技般的技巧）似乎都不熟悉管理这些属性的一般规则，而这方面的主动权应归功于希腊人。 Their arithmetical work, a masterly exposition of which can be found in Books VII and IX of Euclid (I), is in no way inferior to their most beautiful discoveries in other branches of Mathematics. 两个整数的 gcd 的存在性在本书 VII 的开头就被称为“欧氏算法”的程序证明了 \* ；它作为基用于所有后续的发展（素数数的性质，Icm的存在和计算等），基于与第一章没有本质区别的论点。 VI，9 1 以上；至高无上的荣耀是由两个非凡的定理证明素数数的无限存在（书IX，命题20）以及给出构造甚至完美的数的程序（cf.VII，p. 53，例24；这个程序）事实上给出了所有偶数完美的数，正如欧拉所证明的那样）。 只是质因数分解的存在性和唯一性没有以一般方式证明；然而，欧几里得确实明确证明每个整数都可以被素数数整除（书VII，第31条命题），以及以下两个命题（书IX，第13和14条命题）：

« 如果我们希望有尽可能多的数处于级数中，从 1 开始，比例恒定 [即几何]，如果 1 后面的数是质数，那么

\* 如果$a_1$和$a_2$是两个整数，那么$a_1 \geq a_2$，一个定义$a_n$（对于$n \geq 3$）递归地作为$a_{n-2}$除以$a_{n-1}$的余数；如果$m$是最小的指标使得$a_m = 0$，则$a_1$、$a_2$是$a_1$和$a_2$的gcd。这是连续减法的方法转置为整数（有时也称为 ἀνθυφαιρεσις），用于查找两个长度的公共的度量。后者无疑可以追溯到毕达哥拉斯学派，并且似乎是前欧多克西斯非理性理论的基数。

最大的数不能被任何数整除，除了出现在级数中的数（其他素数的字、幂 $p^n$ 数 $p$只能被指数的$p$的幂整除） $\leq n$）。

« 如果数是最小的，可以被[给定]素数数整除，则它不能被任何其他素数数整除，除了那些最初[给定]除它的素数之外 »（在不同素数 $p_1, \ldots, p_k$ 的其他字、乘积中，没有素数因子除了$p_1, \ldots, p_k$）。

因此，如果欧几里得没有给出一般的定理，那只是因为对于整数的任意幂缺乏足够的术语和记号。*

尽管仔细研究后发现，欧几里得的文本似乎是由几个连续的层次组成，每一个相应的都是算术发展的一个阶段**，但这种演变似乎完全发生在公元前5世纪初至4世纪中叶之间。C。人们必须钦佩它所代表的技巧和逻辑信心：算术中下一个类似的进步将在两千年后才会出现。

这就是所谓的“不确定”或“丢番图”问题，它位于数理论后续发展的根。 项今天使用的“丢番图方程”在历史上并不完全合理；它通常被理解为具有整数系数的多项式方程（或方程的系统），仅寻求整数解：问题，如果方程是“确定的”，则通常是不可能的，即只有有限多个（实数或复数）解，但另一方面通常承认解当未知数多于方程时。现在，虽然丢番图确实似乎是第一个考虑“不确定”问题的人，但他只在特殊情况下寻找整数解，并且通常满足于在有理数（II）中找到单个解。这是问题中的型，他通常能够通过代数计算来求解，其中

\* 为了支持这一论点，人们还可以注完美数上的定理的证明基本上只是唯一质因数分解定理的另一个特例。 Moreover, all the evidence shows that from this period onwards the factorisation of an explicit number into primes was well known and in current use; but no complete proof of the factorisation theorem is to be found before that given by Gauss at the beginning of the Disquisitiones ((VIII) t. I，p. 15）。

** 参见。 B、L。范德瓦尔登，毕达哥拉斯算术，数学。安，卷。 CXX（1947-49），p. 127。前一版本遗留下来的一段话的例是由IX书的第21至34条命题提供的，它讨论了能被2整除的最基本的性质，毫无疑问可以追溯到素数数的一般理论还没有发展起来的时期。此外，众所周知，偶数和奇数范畴在早期毕达哥拉斯学派的形而上学思辨中发挥了重要作用，人们很自然地将这一部分归因于毕达哥拉斯学派。

未知数的算术性质不相关*；此外，整除性理论只起次要作用（字对于素数数仅使用一次（(11)，书V，问题9，第1卷，第334-335页），并且互质数的概念仅在与定理断言两个互质数的商只能是平方，前提是它们中的每一个都是平方）**。

不定方程整数解的研究只是从中世纪早期的中国和印度数学家开始的。前者似乎是由于制定历法的实际问题而引发了对这种性质的考虑（其中确定各种天文现象周期的公共的周期恰好构成了线性的“丢番图”问题）；无论如何，他们（当然是在公元 4 世纪到 7 世纪之间）制定了解决同时线性同余的规则（cf. VI、p. 33、Ex. 25）。至于印度教徒，他们的数学在 5 世纪到 13 世纪之间蓬勃发展，他们不仅知道如何有条不紊地处理任意多个未知数***中的线性丢番图方程的系统（通过应用欧氏算法）。但他们是第一个攻克并解决二次问题的人，其中包括《费马方程》的某些特殊情况 Nx^2 + 1 = y^2 ((111)，第 II，第 87-307 页）。

这里不是我们追寻次数 > 1 丢番图方程理论历史的地方，该方程通过费马、欧拉、拉格朗日和高斯的工作，导致了 19 世纪的代数整数理论。正如我们已经注意到的（cf.历史注记至第II和第111章），线性系统的研究似乎不再使问题值得感兴趣，在这一时期相当被忽视：特别是没有寻找任意系统的普遍存在条件，也没有寻找系统的一般存在性。 描述集合解。尽管如此，埃尔米特在 19 世纪的数论研究中

\* 虽然丢番图对不确定问题的研究总是在单个未知数中通过其他未知数的数值选择简化为问题，从而使解成为他的最终方程，但似乎使用这个方法的主要原因是他的记号，这不允许他计算同时具有多个未知数；无论如何，他都会在整个计算过程中跟踪他所做的数值代换，并在需要时通过写下替换变量的兼容性条件来修改它们，并首先求解该辅助问题。在其他字中，他像我们处理参数一样处理这些替换的数字值，以至于他实际上所做的相当于找到给定代数簇或其子簇的有理参数表示（cf.（II之二））。

** 然而，点对丢番图的更高级算术知识有多种暗示：他知道例，方程 x^2 - y^2 = n 没有有理数解，如果 n 是形式 4k + 3 的整数（书V、问题 9 和本书VI、问题 14（（II），第 1 卷，第 332-335 页和p. 425；cf. 以及（II之二），第 105-110 页））。

*** 天文问题也导致印度教徒考虑这个型方程（cf.（III），卷II，第100、117和135页）。

世纪，被引导在线性丢番图方程上使用多个引理，特别是用于具有整数系数的线性变换的“简化的形式”（（XIII），第164页和第265页）；最后，之后黑格尔于1858年给出了系统的秩等于数的方程存在条件，H.J.史密斯于1861年定义了整数矩阵的不变量因子，并得到了通式定理这样的矩阵约化到我们在VII，p. 22，Cor中给出的“正常形式”。 1（XVII）。

但同时，随着高斯的引入（cf.历史注记到第I、II和III章），以及部分在数理论的后续发展中发挥的重要作用，阿贝尔的的概念群逐渐变得精确。高斯在《论文集》中对给定判别式的二次形式的类的有限阿贝尔的群进行了特别深入的研究，很快意识到其中某些群不是循环的：“在这种情况下，”他说，“一个基 [也就是说，一个生成元]不能就足够了，需要取两个或更多的数，通过乘法和合成*，可以产生所有类»（（VIII），第I，第374-375页）。不确定高斯是否希望这些字将群的分解描述为循环群的直接乘积；尽管如此，在论文集的同一篇文章中，他证明了群中存在元素，其阶是所有元素的阶的lcm——在其他字中，他获得了最大的不变量因子的存在群（（VIII），第 1 卷，p. 373）；另一方面，直接乘积的概念是他所知道的，因为在一份 1801 年的手稿中，他将有限阿贝尔的群的分解的一般证明描绘成 p 群的直接乘积 （（VIII），卷II，p. 226）。无论如何，在 1868 年，高斯文集的编辑谢林受到这些结果（尤其是他刚刚发现的这份手稿）的启发，证明了（仍然对于二次形式的类的群）一般分解定理 (XVIII) 方法，正如克罗内克两年后在摘要项（XX）中重复的那样，本质上就是我们上面使用的（VII，p. 18，Th.1）。至于无扭阿贝尔的群，我们已经说过（cf.历史注记至II和III）高斯、阿贝尔和雅可比发展的椭圆函数和阿贝尔的积分理论如何逐渐引起人们的关注支付给他们的结构；第一个也是最著名的将无限群的分解的例转换成循环群的直和是由 Dirichlet 于 1846 年在他关于代数数域的单位的论文中给出的（XI）。但直到1879年，有限生成阿贝尔的群理论与史密斯的定理之间的联系才被Frobenius和Stickelberger认识并明确使用（（XXIII），§ 10）。

\* 高斯对类的合成的律使用加法记号，因此通过“乘法”他意味着类的乘积乘以整数。 ** Abel 在阿贝尔的方程的注中也顺便证明​​了性质 ((IX)，第 I，第 494-497 页）。

大约在同一时期，矩阵（具有真实或复杂的条目）的相似性理论也即将完成。线性变换的概念或特征值明确出现在常系数线性微分方程系统的理论中，由拉格朗日 (VIa) 应用于小振荡理论，由拉格朗日 (VIb) 和拉普拉斯 (VIIa) 应用于行星的“长期”扰动。它隐含在许多其他问题中，这些问题也在18世纪中叶左右受到攻击，例如寻找二次曲线或二次曲线的轴（首先由欧拉（Va）解决），或者研究（也由欧拉（Vb）发展）固体惯性主轴（由德塞格纳于1755年发现）；我们现在知道它也涉及（以更隐蔽的形式）偏微分方程理论的开端，特别是振动弦的方程。但是（抛开最后一个例子）这些不同的问题之间的关系几乎没有被认识到之前柯西（X）。而且，由于大多涉及对称矩阵的使用，所以最初研究特征值主要是因为后者；我们将在这篇专门讨论厄米特运算符的论文的章之后的历史注记中更详细地讨论点；让我们简单地注，早在1826年，柯西就证明了类似矩阵的特征值在相似性下的不变性，并证明了它们对于$3 \times 3$对称矩阵（Xa）是真实的，三年后（Xb）他将这个结果推广到任意实对称矩阵。*莫比乌斯于 1827 年引入的投影的一般概念，迅速导致了对此类变换进行分类的问题（首先是 2 和 3 维数），这无非是对相应的矩阵进行相似性分类的问题；但长期以来，这个问题仅由19世纪中叶盛行的“综合”方法来处理，其进展（无论如何相当缓慢）似乎并没有以任何方式影响特征值理论。 另一个几何问题，圆锥曲线或二次曲线的“铅笔”分类，情况并非如此，从现代点的角度来看，这相当于对矩阵$U + \lambda V$的初等除子的研究，其中$U$和$V$是两个对称的矩阵；正是本着这种精神，西尔维斯特在 1851 年攻击了这个问题，仔细检查（在阶中为正在考虑的铅笔找到“规范的形式”）当值替代$\lambda$时，矩阵$U + \lambda V$的未成年人会发生什么，从而消灭了行列式 (XIV)。 特征值理论的纯代数方面同时也在进步；因此，一些作者（包括西尔维斯特本人）在 1850 年左右证明了 $U^n$ 的特征值是 $U$ 的特征值的第 n 个幂，而凯利

\* 拉普拉斯 (VIIb) 曾于 1784 年尝试在行星“长期”摄动的特殊情况下证明这一结果。至于给出实二次函数轴的第三个次数方程，欧拉在没有证明的情况下指出它具有实数根，拉格朗日在 1773 年尝试了证明 (VIe)不完整；这个点首先由阿歇特和泊松于1801年严格证明（Journal de l'École Polytechnique，cahier 11（年份X），第170-172页）。

announced in 1858, in the paper in which he introduced matrix arithmetic (XVI), the « Cayley-Hamilton Theorem » for an arbitrary square matrix , though he contented himself with a direct proof for 2 x 2 and 3 x 3 matrices. 最后，Weierstrass 在 1868 年使用西尔维斯特的方法，获得了“铅笔”$U + XV$的“规范形式”，其中这次$U$和V是方阵，不一定对称，仅受条件和$\det(U + XV)$不相同的影响零；他从任意平方（复数）矩阵的初等除子中推导出定义，并证明它们表征了后者的相似性（XIX）；顺便说一句，这些结果在两年后被乔丹部分（并且显然是独立地）恢复了*（XXI）。 Frobenius 在 1879 年再次证明，Weierstrass 的定理可以很容易地从 Smith 的定理扩展到多项式 ((XXII), § 13) 推导出来；他的程序是我们上面给出的这个定理的证明的基（VII，p. 35）。

我们刚刚提到了单变量多项式的整除性理论；多项式的除法问题必然在代数的早期自然地出现，作为运算到乘法的倒数（后者甚至为丢番图所知，至少对于低次数的多项式而言）；但可以想象，几乎不可能以一般方式之前来攻击这个问题，对于变量的各种幂已经建立了连贯的记号。 事实上，正如我们所知，我们很少发现多项式的“欧氏”除法过程中的例，之前是在16世纪中叶***；和S。 Stevin（本质上，使用指数记号）似乎是第一个提出推导 « 欧氏算法 » 的扩张来找到两个多项式的 gcd 的人（(IV, vol. I, pp. 54-56）。 除此之外，直到18世纪中叶，整除理论一直局限于有理数整数。 1770 年，欧拉在算术中开始了新的章，他有点鲁莽地把可整除性的概念扩展到二次扩张的整数：求形式$x^2 + cy^2$的数的确定除子（x，y）和 c 有理数整数)，他把

并且，取每边的范数，他毫不犹豫地断言，$x^2 + cy^2$的所有除子都是这样得到的$p^2 + cq^2$（Vc）。在其他字中，

\* 顺便说一句，汉密尔顿几年前已经证明了 3 x 3 矩阵定理 ((XV)，第 566-567 页）。

** Jordan 没有提到他获得的法线形式的不变性。有趣的是，注作为旁白，他处理问题不是为了复杂的矩阵，而是为了矩阵超过有限域。另一方面，让我们点指出，格拉斯曼早在1862年就给出了方法将（复数）矩阵还原为三角形形式，并明确提到了这种还原与投影分类之间的联系（Ges. Math. Werke，第I2卷，莱比锡（Teubner）， 1896 年，第 249-254 页）。

*** 参见。 例 H. Bosmans，Sur le « libro del 代数 » de Pedro Nuñez，圣经。数学。 (3)，卷。 VIII（1907-1908），第 154-169 页。

欧拉认为环 $\mathbf{Z}[\sqrt{-c}]$ 是主理想整环；稍后，他使用类似的论证将“无限下降”的方法应用于方程$x^3 + y^3 = z^3$（他将问题简化为找到$p^2 + 3q^2$的立方根，他通过放入$p + q \sqrt{-3} = (r + s \sqrt{-3})^3$来实现）。但拉格朗日早在 1773 年 (VIc) 就证明，除子、数、形式 $x^2 + cy^2$ 并不是所有这些形式，基本困难的第一个例，在高斯及其后继者对分圆法整除性的研究中表现得更加清楚。 域*;一般来说，扩展有理数整数整除的基本性质，例如gcd的存在性和素因数分解的唯一性，直接应用于这些域是不可能的。这里不适合描述库默（Kummer）的分圆法域（XII）**，以及戴德金德和克罗内克（Dedekind）和克罗内克（Kronecker）的任意代数数域，如何通过发明理想理论（现代代数最决定性的进步之一）成功克服这一艰巨的障碍。但戴德金一直对各种数学理论的基础感到好奇，他并不满足于这一成功。通过分析关系的整除性机制，他在一篇论文中奠定了晶格有序理论群的基础（他的同时代人对此一无所知，并在长达30年的时间里湮没无闻），该论文无疑是公理化代数（XXIV）最早的著作之一；模记号，他的工作非常接近该理论的现代形式，正如我们在第 1 章中介绍的那样。 VI，91。

\* 高斯似乎曾经希望单位元的第n个根的域中整数的环会是主理想整环；在他生前未发表的手稿（（VIII），第II，第387-397页）中，他证明了单位元的立方体根的域中存在欧几里得除法过程，并给出了域中类似过程的一些指示单位元第 5 个根；他用这些结果通过比欧拉更正确的“无限下降”论证来证明方程$x^3 + y^3 = z'$在单位元的立方体根的域中没有解，表明人们可以将扩展方法代入方程$x^5 + y^5 = z^5$，但没有达到方程$x^7 + y^7 = z^7$、说这里不可能先验地拒绝 x、y 和 z 不能被 7 整除的情况。

** 在他最早关于“理想数”的工作中，库默明确指出了应用他的方法的可能性，不仅可以用于分圆域，而且还可以用于二次域，从而恢复高斯在二元二次形式上的结果（（XII），第17页）。 324-325）。

(Vd)：对于每个具有实数系数的多项式$f$，他试图证明存在将$f = f_1 f_2$分解为两个具有*实数*系数的（非常数）多项式，这将给他在次数上通过归纳得到“基本定理”的证明。正如他所注意到的，停在第一个奇数次数因子就足够了，因此所有的困难都被简化为考虑次数$n$off是偶数的情况。然后，欧拉将限制自己描述为当期望的因子各有次数$n/2$时，他指出，通过适当的消除过程，可以将$f_1$和$f_2$的未知系数表示为实系数方程的根的有理函数，其极值项有*相反的符号*，因此至少有一个实数根。但欧拉的证明只是一个草图，跳过了重要的点的数；直到*1772*，拉格朗日才通过极其长而分钟的数学分析成功地解决了这个证明（*VIId*）所带来的困难，其中他展示了他最近创建的“伽罗瓦方法”的非凡技巧（第1章的cf.历史注记）。 IV 和 V）。

尽管如此，拉格朗日，像欧拉和他所有的同时代人一样，毫不犹豫地在多项式的“域 of 根”范围内进行正式论证（也就是说，用他的语言来说，考虑这个多项式的“虚数根”）；他那个时代的数学并没有为这个型的论证提供任何理由。高斯从一开始就坚决反对 18 世纪不受限制的形式主义，他在他的论文中强烈反对这种滥用（(VIII)，卷*III*，p. 3）。但如果他没有意识到这是一个表面上错误地表达了本质上正确的论点的例子，那就不像他了。几年后，我们也发现他（（VIII），卷*III*，p. 33；cf.也*（VIIIbis）*），采用了欧拉论证的更简单的形式，这是Foncenex在*1759*中建议的（然而，他无法利用它来获得任何优势），以获得新的《基本的定理》的证明，其中他小心翼翼地避免提及所有“想象的”根：后者被熟练的伴随和不确定性的专业化所取代。本质上，我们在文本中给出了高斯的证明（VI，p. 26，Th.3），并通过使用代数扩张进行了简化。

因此，拓扑在“基本定理”中的作用被简化为单个定理，即具有实数系数不能变换的多项式符号在一个区间内，而没有零（博尔扎诺的多项式定理）。这个定理也是所有判据中的根，用于分离多项式（具有实数系数）的实数根，这是 19 世纪最受欢迎的代数主题之一*。在这个研究的过程中，很明显它是$\mathbf{R}$的阶结构，远多于它的拓扑，它扮演着

\* 关于这些话题，我们不会在本文中讨论，读者可以参考例 J.-A. Serret，Cours d'Algèbre superérieure，第 3 版，巴黎（Gauthier-Villars），1866 年，或 B. L。范德瓦尔登，现代代数，卷。 I（第一版），柏林 (Springer) 1930 年，第 223-235 页。

重要作用*；对于例 Bolzano 的定理多项式在所有实代数数的域中仍然成立。这一系列的想法产生了E. Artin和O. Schreier（XXV）提出的有序域抽象理论；它最显着的成果之一当然是发现序关系在域上的存在性与域的纯代数性质有关。这是第 1 章§ 2 中提出的理论。 VI。

\* 对实数的阶结构的极度重视的趋势也可以在他们的定义中通过戴德金“削减”看到，这基本上是一个可以应用于所有有序集（cf. VI、p. 35、Ex. 30 及以上）的过程。

参考书目

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