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章 VIII

半单模和环

在这个章中，当我们谈到模（没有进一步说明）时，我们指的是左模。设 A 为环，M 为 A-模。对于任何$a\in A$，我们用$a_M$表示M的位似$x\mapsto ax$。 映射$a\mapsto a_M$是从环A到End$_{\mathbf{Z}}(M)$的子环$A_M$的同态，我们称之为M的同位环。

除非另有说明，代数我们认为是结合律且单位的； 代数 E 的子代数表示 E 的子代数包含单位元； 代数同态被假定为单位。

令 K 为交换环和 L 交换K-代数。对于任何K-模 E，我们用$E_{(L)}$（II, §5, No. 1，p. 277）表示由标量的扩张衍生而来的L模块$L\otimes_KE$。如果 A 为 K-代数且 M 左A-模，则 $A_{(L)}$ 被赋予自然的 L-代数结构 (III, §1, No. 5, p. 433)，并且 $M_{(L)}$ 被赋予左 $A_{(L)}$-模结构律 / 作用由公式 $(\lambda \otimes a)(\mu\otimes m) =\lambda \mu\otimes am$ 给出。

对于任何交换环 K 和任何群 G，我们用 K[G] (III, §2, No. 6, p. 446) 表示环 K 上的 G 的代数 $K^{(G)}$。