习题 11, § 2

令 M 为$\tau$-主模，并令 N 为 M 的子模，其中非零元素的高度均为 M 中的$\leq h$。 a) 设 P 是 M 的纯子模，使得 $P(\pi) \subset N(\pi)$ 和 $P(\tau) \neq N(\pi)$。令a为$N(\pi)$的元素而不是属于到$P(\pi)$，并令$x_0$为$a + P(\pi)$的元素，其M中的高度k尽可能大；让$x_0 = \pi^k y_0$。证明和$P + Ay$是直接的，并且是M的纯子模。 b) 设 B 是 M 的伪自由子集，这样，如果 P 是 B 生成的纯子模，则$P(\pi) \subset N(\pi)$。证明存在 M 的伪自由子集 $C \to B$，使得如果 Q 是由 C 生成的 M 的纯子模，则$Q(\pi) = N(\pi)$（应用 Zorn 的引理，使用 a)）。