习题 14, § 2

令 M 为简化的 τ-primary 模。在Ex的记号中。 13，对于每个序数 a < τ，我们可以将 (M(π) ∩ M^{(α)}/(M(π) ∩ M^{(α + 1)}) 视为向量空间 over 域 F_π = A/Aπ；令 c(α) 表示此向量空间的维数，并调用 c(α) 模 M 中序数 a 的重数 (cf. VII, p. 24)。 a) 证明如果 M 和 N 是两个 τ 基数模，其中每一个都是循环子模的直和（这意味着 τ ≤ ω，第一个无限序数），那么 M 和 N 是同构的，当且仅当它们具有相同的终端序数 τ 和每个整数 n < τ 的重数是M 和 N 中相同。 b) 给出两个 τ-primary 模的例，没有无限高度的元素，它们不是同构的，但其中每个整数 n 具有相同的重数（cf. 例 10，f））。 c) 令 M 和 N 为两个简化的 τ-primary 模，每个都有生成元的可数无限系统。证明如果 M 和 N 具有相同的末端序数 τ，并且如果每个序数 a < τ 在 M 和 N 中具有相同的重数，则 M 和 N 同构

（《乌尔姆-Zippin 定理》）。 （给定两个子模 S ⊂ M 和 T ⊂ N，如果对于所有 x ∈ S，M 中 x 的高度等于 N 中$h(x)$ 的高度，则从 S 到 T 的同构 h 被认为是索引的。 定义从 M 到 N 的索引同构归纳，并通过交错的 M 和 N 所扮演的角色，以约化问题的方式得出以下结果：给定两个有限生成的子模 S ⊂ M 和 T ⊂ N，从 S 到 T 的索引同构 h，以及元素 $x \in M \cap C S$，扩展 h 到索引同构从 S + Ax 到 N 包含 T 的子模。证明这可以简化为 $\tau x \notin S$；使用示例 5，选择元素 w，在 $(S + Ax) \cap C S$ 中M 中的最大的可能高度 $a$，然后 $S \cap M^{(\alpha)}$ 中的选择元素 $w_2$，使得 M 中的 $\pi(w_1 + w_2)$ 高度可能为最大的；表明 $w = w_1 + w_2$ 对于 S 是正确的（例 13，b））。设 $z = h(\tau w) \in T$；表明，如果存在 N 的元素 t，N 的高度为 $a$，相对于 T 适当，并且使得 $\pi t = z$，则可以通过放入 $\overline{h}(w) = t$ 来获得所需形式的 h 的扩张 $\overline{h}$。仍有待证明元素 t 的存在。如果

表明在$N^{(\alpha)} \cap C T$中存在元素$u$使得$z = \pi u$，并且t可以被取为任何这样的元素。另一方面，如果$\gamma(z) = \gamma(\pi w) > \alpha + 1$，或者如果$\gamma(z) = \gamma(\pi w) = \alpha + 1 = \tau$，则使用Ex。 13, d) 证明元素t的存在性，注意到（例13的记号中）$(M(\tau) \cap M^{(\alpha)})/(M(\tau) \cap M^{(\alpha + 1)})$中$S \cap \tilde{M}^{(\alpha)}$的$\psi$下的像是域$F_{\sigma}$上的有限维。

*d) 从 c) 获得 Ex 的新证明。 12，d)（也可使用 VII、p. 14 的第 1 条）。