习题 8, § 2

令$A$为主理想整环，令$\pi$为$A$的不可约元，令$M$为$\pi$主模。那么，如果 $x \in \pi^n M$ 和 $x \notin \pi^{n+1} M$，则 $M$ 的元素 $x$ 被认为具有高度 $n$。如果 $x \in \pi^n M$ 对于所有 $n \geq 1$ 则 $x$ 被称为具有无限高度。

u) 证明 $M$ 是可整除的当且仅当所有元素都具有无限高度（例 3）。

b) 令$x$为高度$n$的$M$之元素，使得$\pi x = 0$；证明如果$x = \pi^n y$，则$M$的循环子模$Ay$是$M$的直因子（注意$Ay$是纯子模，并应用例7，d））。

c) 证明一个不可整除的$n$-主模$M$总是包含至少一个循环非零的直因子（如果$x \in M$有有限的高度，并且存在整数$m$使得$\pi^m x \neq 0$有无限的高度）高度，那么让我们成为最小的整数；写成$\pi^s x = \pi y$，其中$y$的高度严格大于$\pi^{s-1} x$，并将b）应用于$y - \pi^{s-1} x$）。推断任何不可分解的$n$-主模要么是循环的，要么同构于模$U_\tau$（例3）。

d) 证明如果$n$主模$M$的每个纯子模都是$M$中的直因子，那么$M$是可整除的模$P$的直和和$\pi$-主要模 $Q$ 与非零的湮没子。 （约化对于$M$包含不能整除非零的整除子模的情况，用反证法论证。用b）证明在$M$中存在高度为1的元素的无限序列$(x_i)$，使得：1） $x_k$的湮没子是$A \pi^{n_k}$，其中整数的序列$(n_i)$是严格递增的； 2) $Ax_k$的和是直接的，并且这些子模中的任何有限数的和是$M$中的直因子。然后证明由元素 $x_i - \pi^{n_k-1} n_k x_{k-1}$ 生成的 $M$ 的子模 $N$ 是纯的，但不是 $M$ 的直因子，如例 1 所示。 7、e))。