习题 1, § 4

设 U = (\alpha_{ij}) 为矩阵，有 m 行，并且在主理想整环 A 上有 n 列。 a) 首先假设 a_i 是集合互质。证明存在两个可逆的方阵 P 和 Q，其条目在 A 中，使得矩阵 PUQ 的条目之一等于 1。（对于每个 \alpha_{ij} \neq 0，令 S(\alpha_{ij}) 为 a_i 的分解到不可约元中的指数的和，并令s(U) 是数 s(\alpha_{ij}) 中最小的；如果 s(U) > 0，则表明存在两个可逆的方阵 R 和 S，使得

使用 Bezout 的恒等式，并限制矩阵 R 和 S 考虑，之后排列行和列（如有必要）为形式 $\begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$ 的行，其中 T 是 2 x 2 矩阵和 I 恒等式矩阵，或者乘积其中矩阵和置换矩阵。） b) 如果 delta_1 是 U 项的 gcd，则证明存在两个可逆的矩阵 P_1, Q_1，使得

其中 U_1 的所有条目均可被 delta_1 整除（使用 a)）。 c) 对于 A = \mathbf{Z}，使用 b) 获得方法，计算显式矩阵的不变量因子，其中条目位于 \mathbf{Z} 中。将这个方法应用到矩阵

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