习题 10, § 4

设A为主理想整环，M为$E = A^{n}$中秩$n$的子模；令 $A\alpha_{i}$ ($1 \leq i \leq n$) 为 M 关于 E 的不变量因子，排列在递减阶中。令 N 为 M 的子模，并允许 M 中存在补集（即，使得 $N = M \cap KN$，其中 K 为 A 的分数的域）。 a) 令P为M中N的补集。证明$E/M$的子模$(P + (E \cap KN))/M$与$(E \cap KN)/N$同构的。推断，如果 N 具有秩 p 且 $A\beta_{k}$ ($1 \leq k \leq p$) 是 N 关于 E 的不变量因子，则$\beta_{k}$ 除 $\alpha_{k+n-p}$ 对于 $1 \leq k \leq p$（使用例 8，d））。 b) 给出例，证明模$E/M$不一定同构于模$(E \cap KN)/N$和$E/(P + (E \cap KN))$的乘积（取$E/M$不可分解）。