习题 14, § 4

令 M 为主理想整环 A 上的有限长度的模，且域为分数 K。 a) 证明如果 N 是 M 的子模，则 M 的秩至多等于 N 的秩和 M/N 的和（令 M = E/H，其中 E 是秩 n 的自由模，H 是 E 的秩 n 的子模；如果N = L/H，其中 H ⊂ L ⊂ E，请注意，如果 N 的秩是 p，则存在秩 n − p 的 H 的子模 R，在 L 中接纳一个补集 S，使得 S ∩ H 是 H 中 R 的补集，(E； ∩ KR)/R 具有秩 ≥ n − p 并且同构于 E/L 的商模（例 10，a））；使用Ex完成证明。 8，b))。 b) 令 N 为秩 p 的 M 的子模，并令 q 为 M/N 的秩。令Aa (1 ≤ i ≤ n) 为M 的不变量因子，Aβ_k (1 ≤ k ≤ p) 为N 的不变量，排列为递减阶。证明 β_k 是 a、(p + q − n) 的倍数（使用 a）和 Ex。 8, c)，注意到 (λM)/(λN) 同构于 M/N 的商模)。