习题 16, § 4

设 M 为模大于交换环 A。 如果对于 M 的每个自同态 $u$ 都有 $u(N) \subset N$，则 M 的子模 N 称为特征。 对于所有$a \in A$，元素被a消灭的子模$M(\alpha)$，以及子模$\alpha M$，都是特征。 a) 如果N是M的特征子模，并且P和Q是M的两个互补子模，则证明N是$N \cap P$和$N \cap Q$的直和（考虑从M到P和Q的投影）。 b) 设 M 为主理想整环 A 上的有限长度的模；设$Aa_i$为M的不变量因子，排列在递减阶($1 \leq i \leq n$)；设$(M_i)_{1 \leq i \leq n}$是M的子模的序列，使得M是M的直和，并且每个$M_i$同构于$A/A\alpha_i$。 令N为M的特征子模，令$A\beta_i$为$N \cap M_i$($1 \leq i \leq n$)的湮没子；如果 $a_i = \beta_i \gamma_i$，则证明对于所有 $1 \leq i \leq n - 1$，$\beta_i$ 除 $\beta_{i+1}$ 和 $\gamma_i$ 除 $\gamma_{i+1}$（请注意，对于 $1 \leq i \leq n - 1$，存在 M 的自同态其中映射 $M_{i+1}$到$M_i$，以及M的自同态，其中映射M，到$M_{i+1}$的子模）。 c) 相反，令N为M的子模，即子模$N_i \subset M_i$的直和；假设N个中的湮没子$A\beta_i$，($1 \leq i \leq n$)满足上面的条件。 然后证明N是M的特征子模。 推断如果M的两个特征子模具有相同的不变量因子，则它们相等。