习题 17, § 4

令 A 为主理想整环，令 a 为 A 的非零元素，令 E 为模 $A/A\alpha$。那么乘积$E^n$同构于$A^n/(\alpha A^n)$。 a) 设u是从$E^n$到$E^m$的线性映射；表明 u 可以从 $A^n$ 到 $A^m$ 上经过的商的线性映射 v 获得。 b) 设$A\beta_i$($1 \leq i \leq p \leq \inf(m, n)$)为$v(A^n)$相对于$A^m$的不变量因子，排列在递减阶中；令 q $\leq p$ 为指标 i 的最大的，使得 或 不除 $\beta_i$，并令 $\delta_i$ 为 a 的 gcd，且 $\beta_i$ 为 $1 \leq i \leq q$。证明u的核$u^{-1}(0)$是$n-q$模的直和同构于E和q循环模分别同构于$A/A\delta_i$($1 \leq i \leq q$)。如果 $a = \gamma_i \delta_i$ ($1 \leq i \leq q$)，则表明模 $u(E^n)$ 具有不变式因子 $A\gamma_i$。