习题 19, § 4

设C为主理想整环。考虑 m 的系统 « 线性同余 »

其中系数、右侧和元素或所有属于到C，并且其中a是非零的；令A表示矩阵$(\alpha_{ij})$，令B表示通过将A扩展列（$\beta_i$）获得的矩阵，并令$\delta_k$（或$\delta'_k$）是A（或B）的第k个阶次要的最大公约数。那么系统在$\mathbf{C}^n$中至少承认一个解当且仅当： a) 如果$m \leq n$，则$a^m, a^{m-1}\delta_1, \ldots, \alpha\delta_{m-1}, \delta_m$的gcd等于$\alpha^m, a^{m-1}\delta'_1, \ldots, \alpha\delta'_{m-1}, \delta'_m$的gcd； b) 如果$m > n$，则$\alpha^{n+1}, \alpha^n\delta_1, \ldots, \alpha\delta_n$的gcd等于$\alpha^{n+1}, \alpha^n\delta'_1, \ldots, \delta'_{n+1}$的gcd。 （约化系统线性同余到系统线性方程，并使用例18。）