习题 6, § 4

令 A 为交换环，令 E 为 A-模。令 $\mathscr{E}$ 表示阿贝尔的群 E 的自同态环 $\mathrm{End}_\mathbf{Z}(E)$（无运算符）；对于每个子环$B \subset \mathscr{E}$，令$B'$表示B在$\mathscr{E}$中的中心化子（$\mathscr{E}$由……组成的子环与元素的每个元素可交换）。 a) 设$A_0$为同位$x \mapsto \lambda x$($\lambda \in A$)的$\mathscr{E}$由……组成中的子环；如果a是E的湮没子，则已知$A_0$与$A/a$同构的，并且其在$\mathscr{E}$中的中心化子$A_0'$是E的自同态的环$\mathrm{End}_A(E)$为A-模。证明$A_0'$的中心化子$A_0''$是可交换的，并且它的中心化子$A_0'''$等于$A_0'$（注意$A_0 \subset A_0'$）。 b) 如果子模 F 是 E 的直因子，则证明对于所有 $u \in A_0'$ 都有 $u(F) \subset F$（考虑从 E 的分解获得的 F 上的 E 投影作为 F 的直和和另一个子模）。 c) 假设E是循环子模族$(F_i)$的直和。如果$u \in A_0'$表明，对于每个指标i，都存在元素$a_i \in A$，使得$u(x) = a_i x$对于所有$x \in F_i$（使用b））。 d) 假设E是循环子模的序列$(E_n)$（有限或无限）的直和，这样，如果$b_n$表示$E_n$的湮没子，则序列$(b_n)$是递增。证明$A_0' = A_0$（使用c），并且对于每个指标$i > 1$，都存在自同态$v_i \in A_0'$，其中映射$E_i$转化为$E_i$。 将此应用于 A 为主理想整环且 E 为有限生成A-模的情况。