习题 7, § 4

令 A 为主理想整环，域为分数 K，并令 E 为秩 $n$ 的有限生成、无扭转 A 模。令 $E^*$ 为 E 的对偶；则 E 和 $E^*$ 均同构于 $A^n$。

a) 令 M 为 E 的子模；证明，如果$M^0$是与M正交的$E^*$的子模，则模$E^*/M^0$无扭转，因而$M^0$在$E^*$中是直因子； E 与 $M^0$ 正交的子模 $M^{00}$ 等于 $E \cap KM$（将 E 视为规范地嵌入到 K 上的 n 维向量空间中）。我们可以将$E^*/M^0$视为规范地嵌入到M的对偶$M^*$中；证明$E^*/M^0$相对于$M^*$的不变量因子等于M相对于E的不变量因子（使用VII、p. 18的Th.1）。

b) 设 F 为第二个有限生成的无扭转 A 模，并令 $u$ 为从 E 到 F 的线性变换。证明 $'u(F^*)$ 相对于 $E^*$ 的不变量因子等于 $u(E)$ 相对于 F 的不变量（按 VII 的命题 5 进行， p. 21）。