习题 9, § 4

设A为主理想整环，K为分数的域；令E为K上的向量空间，令M为E中包含的秩$n$的有限生成A-模，令N为KM中包含的秩p的有限生成A-模，并令P为KN中包含的秩q的有限生成的$A$模。

a) 令 $A\alpha_i$ ($1 \leq i \leq p$) 为 N 关于 M 的不变量因子，排列在递减阶中（例 3）。证明，对于 $1 \leq k \leq p$，元素 $\alpha_k$ 是元素 $A \in K$ 的 gcd，使得商模 $(N + \lambda(KN \cap M))/N$ 的秩是 $\leq p - k$（cf. 例 8，d））。

b) 令$A\beta_j$ ($1 \leq j \leq q$)为P关于M和Ay的不变量因子，($1 \leq j \leq q$)为P关于N的不变量因子，排列于递减阶。证明 $\alpha_1 \gamma_j$ 除 $\beta_j$ 代表 $1 \leq j \leq q$（cf. 例 8）。

c) 证明 $\gamma_1 \alpha_j$ 除 $\beta_j$ 对应 $1 \leq j \leq q$。 （首先考虑情况$n = p = q$，并应用例8。一般来说，证明我们可以总是假设$p = n$，并考虑M的子模 Q，使得对于所有$\rho \in A$，$P + \rho Q$具有秩$p$；然后选择是理想的$Ap$足够小，并应用VII、p. 20的第4条。）

d) 对于秩 $k \leq p$ 的任何子模 H of N，令 $(\mu_{H})$ 为 $\mu \in K$ 的分数理想由……组成，使得 $\mu(M \cap KH) \subset H$。从 c) 中推导出，对于每个 $1 \leq k \leq p$ 元素 $a_{k}$ 都是 $\mu_{H}$ 的 gcd，因为 H 遍历秩 k 的 N 的所有子模。