习题 12, § 5

a) 设 A 和 B 为交换域 K 上阶 n 的两个方阵，并令 $f_i$ 和 $g_i$ ($1 \leq i \leq n$) 为其各自的相似不变量。证明方阵$U$、阶$n$的向量空间（在K上），使得$UA = BU$同构于空间$\overline{M} = M/N$，定义如下：M是方阵的空间 $K[X]$ 上的阶 n 的$(u_{ij}(X))$，使得对于指标的每个对 $i, j$，$u_{ij}(X) f_j(X)$ 是$g_i(X)$ 的倍数； N 是那些矩阵的 M 由……组成的子空间，对于指标的每个对 $i, j$，$u_{ij}(X)$ 是 $g_j(X)$ 的倍数。 （将$U, A$和B分别视为自同态的矩阵和$E = K^n$的$u, v$和w，并注意u是从$E_v$到$E_w$的$K[X]$线性映射；现在表示$E_v$和$E_w$ 为商模。） b) 当$B = A$、矩阵$U$使得$UA = AU$形式环P；则 M 是方阵的环，N 是 M 的 2 边理想，使得 P 同构于商环 $M/N$。证明 P 与 I 生成的环 $K[A]$ 相同，并且当且仅当 A 的最小多项式等于其特征多项式时。 c) 对于任意A和B，证明$M_0$的维数等于$\sum_{i,j} m_{ij}$，其中$m_{ij}$是$f_i$和$g_j$的gcd的次数（与a）相同的方法）。 d) 证明矩阵 $U \in M_0$ 的秩的最大的等于$\sum_k d_k$，其中$d_k$ 是$f_k$ 和$g_k$ 的gcd 的次数（使用例8）。 e) 将a)、c)和d)的结果推广到A是阶$n$的平方矩阵，B是阶m的平方矩阵，$U$是矩阵，有m行和n 列。