习题 13, § 5

令$(Z_{ij})$ ($1 \leq i, j \leq n$) 为$n^2$ 在域 $K_0$ 上不定。令A为多项式环$K_0[Z_{11}, ..., Z_{nn}]$，令$K = K_0(Z_{ij})$为其分数的域；令 $\chi_U$ 为矩阵 $U = (Z_{ij})$ 在 K 上的特征多项式。 a) 证明$\chi_U$是一个可分的不可约多项式（表明，如果$\chi_U$在K上可约，那么它将是X中次数$> 0$的$K_0[X, Z_{,,}]$中两个多项式的乘积：因此推导出每个的特征多项式阶 n 在 K 上的平方矩阵可约化；然后从具有代数独立系数超过 $K_0$ 的多项式的例导出矛盾；使用类似的方法来证明可分离性）。 b) 证明$U$与矩阵类似，其中每一项都等于0、1或多项式$\chi_U$的系数（cf.VII、p. 30、公式 (2)）。推出，如果$K_0$是无限域，并且p是A中的多项式，使得每当矩阵$(u_{ij}')$和$(u_{ij}'')$在K上时$p(u_{ij}') = p(u_{ij}'')$相似，则A的p属于到子环由以下系数生成$\chi_U$。陈述并证明有理数函数 $r \in K = K_0(Z_{ij})$ 的类似结果。