习题 10, 附录 1

假设$k$是域，A是无限维$k$代数，并且A的每个真左理想都是$k$上的有限维。

a) 证明对于每个左理想$\mathfrak{a}\not= A$，我们都有$A\mathfrak{a}= 0$（考虑同态$\gamma : A\rightarrow$End$_k(\mathfrak{a})$）。

b) 设$\mathfrak{r}$为A的最大左理想的和。证明$\mathfrak{r}$与A不同（使用习题9），$\mathfrak{r}$是双边理想，$A/\mathfrak{r}$是域（cf.习题） 7). c) 令 $u$ 为（左或右）模单位 $\mathfrak{r}$。证明我们有$\mathfrak{r}u=\mathfrak{r}$（观察我们有$Au= A$）。

d) 证明 $\mathfrak{r}A$ 是零（考虑 A 中 $\mathfrak{r}$ 的右湮灭子，并按 a) 中的推理），然后证明 $\mathfrak{r}$ 是零。 结论 A 是域。