习题 11, 附录 1

假设$k$是域，A是$k$代数，并且A的子代数的每个递减序列都是平稳的。

a) 证明代数 A 是阿廷的并且其根式在 $k$ 上是有限维的（应用习题 9）。

b) 令 S 为 $A/\Re (A)$ (习题 7) 的简单分量；它与域 D 上的矩阵代数同构，且有中心 Z。证明 D 在 Z 上是有限维的（如果 D 包含元素是 Z 上的超越，构造的无限严格递减序列 D 的子域；如果 D 是 Z 上的代数且无限维，则构造 D 的子域的无限严格递增的序列，并考虑它们在 D 中的交换子）。

c) 证明如果 Z 在 $k$ 上是无限维的，那么我们有 S = D（考虑 B 的幂零子代数）。

d) 证明 Z 是 $k$ 的代数扩张。令$p$为Z中包含的$k$的$k$和L最大的可分扩张的特征指数。证明$L\cap Z^p$比$L^p$有有限次数（考虑$p$基） $L\cap Z^p$超过$L^p$）。

e) L 的每个递减序列子延伸都是静止的。给出例来表明这个条件并不意味着L比$k$有有限次数（cf.V, §12，p. 167，习题3）。 f ) 相反，令 B 为 a) 的 $k$ 代数满足条件，使得 $B/\Re (B)$ 的每个简单分量满足 b)、c)、d) 和 e) 的条件。证明 B 的子代数中的每个递减序列都是平稳的。

（约化对于B为域且中心 Z的情况。设$(D_n)$为B的子域的递减序列；我们可以假设由$D_n$和Z生成的域D独立于$n$。观察我们可以写$D = E\otimes_LZ$，其中L是有限次数的Z在$k$上的子域，E是L上的有限次数的域，其中心包含L证明。那么$D_n$是由E和$D_n\cap Z$生成的域，因此我们被简化为当B是交换域时的情况，它是$k$的$p$根扩展。如果$(F_n)$是B的子扩展的递减序列，则考虑子域。 $k(F^{p^{\infty}}_n)$，其中$F^{p^{\infty}}_n=\cap_fF^{p^f}_n.$）