习题 12, 附录 1

a) 假设$k$是域，$k$代数A是阿廷的，并且A的子代数的每个递增序列都是平稳的。证明 A 的有限次数大于 $k$。 （原因如习题 11. 注域 $k(X)$ 包含子代数的无限严格递增的序列，使用VII, §1, No. 5、p. 6、命题 6.) b) 证明在多项式代数$k[X]$中，子代数的每个递增序列都是平稳的。 （令 $f\in k[X]$ 为非常数多项式，A 为 1 和 $f$ 生成的 $k[X]$ 的 $k$ 子代数。观察 A 为主理想整环，$k[X]$ 为有限生成A-模。）