习题 6, 附录 1

如果一个 $k$ 代数承认简单且忠实的伪模（即，湮没子减少到 0），我们就说它是原始代数。

a) 证明如果代数 $\widetilde{A}$ 是原语，那么 A 也是原语。

b) 如果代数 A 是本原且单位的，则代数 $\widetilde{A}$ 不是本原。

c) 假设 $k$ 是域并且代数 A 是本原的而非单位的。证明$\widetilde{A}$是原语（证明如果A上存在一个忠实的伪模，但作为$\widetilde{A}$模不忠实，则A承认右单位元$u$，并推导出矛盾）。