习题 15, § 1

设A为交换环，M为有限生成A-模。

a) 假设对于 A 的每一个理想递增序列 $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$，序列 $(\mathfrak{a}_nM)_{n\in\mathbf{N}}$ 都是平稳的。证明A-模 M 是诺特。 （约化对于A-模 M忠实的情况，并且对于A的每个理想$\mathfrak{a}\not= 0$，A-模$M/\mathfrak{a}M$是诺特。然后存在M的子模$N_0$，其在子模$N\subset M$中最大，使得证明$M/N$是忠实的，A-模$M/N_0$是诺特，然后环A是诺特，并且结论。）

b$)^*$假设对于 A 的每一个理想递减序列 $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$，序列 $(\mathfrak{a}_nM)_{n\in\mathbf{N}}$ 都是平稳的。证明A-模 M 是阿廷的。 （约化对于A-模 M忠实的情况。证明A只有有限多个极大理想，并利用VIII的命题 1 证明、p. 173，A的根式幂幂。推论存在有限序列 A 的最大理想的 $(\mathfrak{m}_1,\mathfrak{m}_2,\cdots ,\mathfrak{m}_n)$，其乘积消灭了 M。结论在 $n$ 上被归纳消灭。）\*