习题 16, § 1

a) 令 A 为交换环且 $\rho : A\rightarrow B$ 为单射环同态，使 B 成为有限生成的左A-模。假设对于 A 的每个理想递增（分别为递减）序列 $(\mathfrak{a}_n)_{n\in\mathbf{N}}$，序列 $(\mathfrak{a}_nB)_{n\in\mathbf{N}}$ 都是平稳的（如果环 B 为右诺特（分别为右阿廷），就是这种情况）。证明环 A 是诺特（分别为阿廷的）（使用习题 15）。

b) 给出左的例和右阿廷和诺特环B和子环A，使得B有限地生成为左和右A-模并且环A既不是左也不是右诺特或阿廷的 (选择一个合适的整环C，与分数K的域，取B为矩阵环$\mathbf{M}_3(K)$，A为矩阵$(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}$B由……组成的子环与$a_{ij}= 0$适用于$1\leqslant i < j\leqslant 3$和$a_{22}\in C.$）