习题 19, § 1

设A为环，A的S子集，承认A上的左分式演算（习题18），以及包含1和S的$S'$最小的子集，并且在乘法下稳定。我们用与S相关的A的左分式的$S^{-1}A$环和$\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$典范同态表示。

a) 设 M 为 A-模。我们用$S^{-1}M$表示$S^{-1}$A-模$S^{-1}A\otimes_AM$，并称其为与S相关的M的左分式的模。证明$S^{-1}M$的每个元素都可以写成$\varepsilon (s)^{-1}\otimes x$和$x\in M$， $s\in S'$，对于M中的$x, y$和$S'$中的$s, t$，关系$\varepsilon (s)^{-1}\otimes x=\varepsilon (t)^{-1}\otimes y$等价于A的元素存在对$(c, d)$，使得我们有$cx=dy$和$cs=dt\in S'$。

b) 我们用$\varepsilon_M$表示从M到$S^{-1}M$的规范A-线性映射$x\mapsto 1\otimes x$。它像生成$S^{-1}$A-模$S^{-1}M$；它的核由元素$x\in M$组成，其中存在$s\in S'$使得$sx= 0$。 映射 $\varepsilon_M$ 是单射（或双射）当且仅当对于每个 $s\in S$，M 的位似 $x\mapsto sx$ 是单射（或双射）。

c) 我们有$S^{-1}M = 0$当且仅当对于每个$x\in M$，存在一个$s\in S$使得$sx= 0$。

d) 令 N 为 M 的子模。从 $S^{-1}N$ 到 $S^{-1}M$ 的规范 $S^{-1}$A-线性映射是单射的。 $(^*$在其他字，右A-模$S^{-1}A$是平的。$_*)$我们认同$S^{-1}N$及其像在$S^{-1}M$在这个映射下。 M 的子模 $\varepsilon^{-1}_M(S^{-1}N)$ 由元素 $x\in M$ 组成，其中存在 $s\in S'$ 和 $sx\in N$。我们说它是 N 对 S 的左饱和度。

e) 映射$N'\mapsto \varepsilon^{-1}_M(N')$是从$S^{-1}M$的$S^{-1}A$子模的有序集合到M的A-子模的有序集合的同构，对于S来说，A-子模是饱和的（即等于它们的饱和度）。 逆同构是 $N\mapsto S^{-1}N$。 f ) 如果A-模 M 为诺特，则$S^{-1}$A-模 $S^{-1}M$ 为诺特。如果 A-模 M 为阿廷的，则 $S^{-1}$A-模 $S^{-1}M$ 为阿廷的，映射 $\varepsilon_M: M\rightarrow S^{-1}M$ 是满射。

g) 如果环 A 是左诺特的（分别是左阿廷的），那么环 $S^{-1}A$ 也是。 h) 对于右模的右分式的模，制定与此习题类似的叙述。