习题 2, § 1

设A为环，有限长度$n$的M A-模，M的幂零自同态的R集合在合成下稳定。

a) 如果$n= 1$，则R的每个元素都是零。 如果$n >1$，证明存在M的子模 N，不同于0和M，在R的所有元素下是稳定的。（我们可以假设R有元素$s\not= 0$；选择使得$s(M)$具有最小长度，并证明我们有每$r\in R$对应$srs= 0$。 推断如果$Rs=\{0\}$，我们可以取$N =s(M)$；如果$Rs\not=\{0\}.$)[^1]，我们可以取$N =\sum_{r\in R}r(s(M))$

b) 从a) 推断出存在M 的Jordan–Hölder 级数 $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$，这样我们对于所有$r\in R$ 和$0\leqslant i\leqslant n-1$ 都有$r(M_i)\subset M_{i+1}$。推断对于 R 的 $n$ 元素的每序列 $(r_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$，我们都有 $r_1\cdots r_n= 0$。

[^1]: This proof was communicated to us by A. 罗森伯格。