习题 21, § 1

设A为环、环A的$\sigma$自同态、以及满足关系$d(ab) =\sigma (a)d(b) +d(a)b$的加法群$d$幂零自同态。 a) 表明集合$S =\{X\}$在环$B = A[X]_{\sigma ,d}$（VIII，p. 11）上承认左分式（习题18）中的演算。如果 $\sigma$ 是单射的，那么从 B 到 $S^{-1}B$ 的典范同态是单射的，并且我们认同 B 的子环为 $S^{-1}B$。如果$\sigma$是双射，则S也承认B上的右分式的演算，并且$S^{-1}B$的每个元素可以唯一地写为$\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nX^n$，其中$(a_n)_{n\in\mathbf{Z}}$是A的元素与有限支撑的族。对于$a\in A$，在这个形式中写入$S^{-1}B$的元素$X^{-1}a$。

b) 通过在 X 中的形式幂级数的集合 A[[X]]上连续到乘法，证明乘法在环$A[X]_{\sigma ,d}$扩展，系数在A中。 加法群 A[[X]] 赋予了乘法，就是环，我们用$A[[X]]_{\sigma ,d}$表示（或者如果$d= 0$则简单地表示为$A[[X]]_{\sigma}$）。给出例，其中常量项等于 1 的形式幂级数 $u\in A[[X]]$ 在环 $A[[X]]_{\sigma ,d}$ 中既没有左逆也没有右逆。

c) 证明$A[[X]]_{\sigma}$的可逆元是常数项在A中可逆的。

d) 制定并证明a) 之后替换环 $A[X]_{\sigma ,d}$ 与环 $A[[X]]_{\sigma ,d}$ 的类比。

e) 假设A是A的域和$\sigma$自同构，则$S^{-1}A[[X]]_{\sigma}$（其中$S =\{X\}$）是域，并且它的每个元素可以唯一地写为$\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nX^n$，其中$(a_n)_{n\in\mathbf{Z}}$是一个族A 的元素只有有限多个非零的项和指标 $<0$。我们用 $A((X))_{\sigma}$ 表示这个域。

f ) 假设 A 是交换域。描述域$A((X))_{\sigma}$的中心。推导无限次数的域除以其中心的例。