习题 23, § 1

设A为环，I集合，$\boldsymbol{\sigma }= (\sigma_i)_{i\in I}$环A的自同态族，以及$\boldsymbol{d}= (d_i)_{i\in I}$A的加法群自同态族，满足关系

对于 $i\in I,j\in I,i\not=j$ 和

$i\in I,a\in A,b\in A$。 a) 证明在变量族$\mathbf{X}= (X_i)_{i\in I}$中存在唯一的环 B，其加法群是系数在A中的多项式的加法群$A[\mathbf{X}]$，并且其乘积具有以下性质：

(i) B 的元素 $X_i(i\in I)$ 是成对可置换的。

(ii) 对于B中的每个$a\in A$和每个多索引$\boldsymbol{\nu }= (\nu_i)_{i\in I}\in \mathbf{N}^{(I)}$、乘积，在这个阶、$a$和有限序列的$\nu_i$元素等于$X_i$，对于每个$i\in I$是多项式$a\mathbf{X}^{\boldsymbol{\nu }}$。

(iii) 对于每个$a\in A$和每个$i\in I$，我们在环B中有关系$X_ia=\sigma_i(a)X_i+d_i(a)$。

b) 环 B 表示为$A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\mathbf{d}}$。它具有以下泛性质：给定环C，环同态$f: A\rightarrow C$，以及C的元素的家庭$(x_i)_{i\in I}$，它们是成对可置换的，使得$x_if(a) =f(\sigma_i(a))x_i+f(d_i(a))$对于每个$a\in A$和每一个$i\in I$，都存在一个唯一的环同态$g: B\rightarrow C$延伸$f$，使得$g(X_i) =x_i$对应于$i\in I$。

c) 令 J 为 I 的子集。用 $B'$ 表示环 $A[(X_i)_{i\in J}]_{(\sigma_i)_{i\in J},(d_i)_{i\in J}}$。对于每个$i\in I$-J，存在环$B'$的唯一内同态$\sigma_i'$和$B'$的加法群唯一内同态$d'_i$，使得

$\sigma_i'(a) =\sigma_i(a)d'_i(a) =d_i(a)$ 换$a\in A$，

$\sigma_i'(X_j) = X_jd'_i(X_j) = 0$ 换$j\in J$，

$d'_i$(PQ) $=\sigma '_i(P)d'_i(Q) +d'_i(P)Q$ $P\in B,Q\in B$。

集合$\boldsymbol{\sigma }'= (\sigma_i')_{i\in I-J}$和$\boldsymbol{d}'= (d'_i)_{i\in I-J}$。从$A[(X_i)_{i\in I}]$到$A[(X_j)_{j\in J}][(X_i)_{i\in I-J}]$的规范双射是从环$B = A[(X_i)_{i\in I}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$到环$B'[(X_i)_{i\in I-J}]_{\boldsymbol{\sigma }',\boldsymbol{d}'}$的同构。

d) 如果环 A 是左诺特的，那么集合 I 是有限的，并且如果对于每个 $i\in I$，A 的自同态 $\sigma_i$ 是双射的，那么环 $B = A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$ 是左诺特的。 e) 假设对于每个 $i\in I$，态射 $\sigma_i$ 是 A 上的恒等映射。令 E 为 A 的加法群的自同态环。证明存在唯一的环同态 $\psi$ $B = A[\mathbf{X}]_{\boldsymbol{\sigma },\boldsymbol{d}}$到E，使得$i\in I$的$\psi (X_i) =d_i$以及所有$a\in A$，态射$\psi (a)$是A的左边位似$b\mapsto ab$。f）保留e）的假设。此外，假设 A 是多项式环 $C[(T_i)_{i\in I}]$，系数在 a（不一定可交换）环 C，并且对于每个 $i\in I$，态射 $d_i$ 是 A 的推导 $P\mapsto\frac{\partial P}{\partial T_i}$。证明： C 是非零的，并且在 $\mathbf{Z}$ 上没有挠元，同态 $\psi : B\rightarrow E$ 是单射的。证明如果C是特征$p >0$（V, §1, No. 2，p. 2）的环，$\psi$的核就是元素$X^p_i(i\in I)$生成的B的左理想。