习题 27, § 1

设D为VIII、p. 9、D满足关系$D,d$自同态加法群域、$\sigma$自同构、以及A环 $D[X]_{\sigma ,d}$（VIII，p. 11）。给定 A 的非零元素 $P =\sum_na_nX^n$，最大的整数 $n$，使得 $a_n\not= 0$ 称为 P 的次数，并表示为 deg(P)。我们集合度(0)$=-\infty$。

a) 设$F,G$为A与$G\not= 0$的元素；表明存在确定的 A 元素 $Q,R$（分别为 $Q',R'$），使得 F = QG + R 和 deg(R) $<$ deg(G)（分别为 F = GQ$'+ R'$ 和 deg(R$'$)$<$ deg(G)）。 b) 推断 A 的每个左（或右）理想都是单生的。如果 $F,G,H,K$ 是满足 AF + AG = AH 和 AF $\cap$ AG = AK 的元素，则我们有 deg(F) + deg(G) = deg(H) + deg(K) （观察D-向量空间 $A/$AF 有维数度（F））。

c) A 的理想 AF 最大当且仅当 F 是不可约的，即不是两个非常数多项式的乘积。