习题 28, § 1

令 B 为环，B 的 A 子环，B 的 $x$ 元素，这样我们就有 $A + Ax= A +xA$ 并且环 B 由 $A\cup \{x\}$ 生成。

a) 设M为诺特左A-模；证明B-模$M_{(B)}= B\otimes_AM$是诺特。特别是，如果环 A 是左诺特的，那么 B 也是。

b) 假设A-模 M 有有限长度 $n$；证明$M_{(B)}$的每个B-子模都承认基数$\leqslant n$的生成子集（改编VIII、p. 6的定理1的证明）。