习题 3, § 1

a) 将交换域 K 中的例和 K 中的同构 $\varphi$ 赋予其子域 $K'$ 之一，使得 K 在 $K'$ 上是有限维的。 加法群$A = K\times K$，我们定义环结构由设定$(x, y)(x', y') = (xx', xy'+y\varphi (x'))$（II, §1，p. 382，习题7）。 A 的唯一左理想是 $\{(0,0)\},\{0\} \times K$ 和 A，但对于 $K,\{0\} \times E$ 的每个 $K'$-线性子空间 E 是 A 的右理想。推断 A 是左阿廷的和左诺特的，但既不是右阿廷也不是右诺特。 b) 给出有限长度的模中的例，其自同态环既不是左阿廷的也不是左诺特的。

c) 使用与a)中相同的方法，给出左侧的例和右阿廷环，其左侧长度与其右长度不同。