习题 6, § 1

设 A 为环且 $e$ 在 A 中是幂等的。

a) 设$\mathfrak{a}_1$为环$eAe$的左理想，$\mathfrak{a}$为$\mathfrak{a}_1$生成的A的左理想。我们有$\mathfrak{a}_1=e\mathfrak{a}e=\mathfrak{a}\cap eAe$。

b) 对于A的每个左理想$\mathfrak{a}$，我们有$\mathfrak{a}\cap eAe\subset e\mathfrak{a}e$；给出例，其中这是严格包含（对 A 取矩阵环）。

c) 对于 A 的每一个双面理想 $\mathfrak{a}$，我们都有 $\mathfrak{a}\cap eAe=e\mathfrak{a}e$。

d) 如果环 A 是左阿廷的（分别是左诺特的），那么环、$eAe$ 和$(1-e)A(1-e)$ 也是。

e) 给出例，其中$eAe$和$(1-e)A(1-e)$是交换域，并且其中A允许无限个严格递增的序列和无限严格递减序列的双面理想。 （选择无限维向量空间V超过交换域K，赋予加法群$A = K\times V\times K$以及$(\lambda , x, \mu)(\lambda ', x', \mu') = (\lambda \lambda ', \lambda x'+\mu'x, \mu\mu')$定义的环结构和集合$e= (1,0,0).$）