习题 7, § 1

a) 设A为形式$Ae$的A的左理想环和$\mathscr{I}$集合，其中$e$是A中的幂等。证明以下性质是等价的：

(i) $\mathscr{I}$ 中的每个非空子集都有一个最小的元素。

(ii) $\mathscr{I}$ 中的每个非空子集有极大元素。

(iii) 不存在非零的理想属于到$\mathscr{I}$其和是直接的无限族。

(iv) A 中不存在非零的幂等的无限族$(e_i)$使得$e_ie_j= 0$对应$i\not=j$。

b) 给出环 A 的例，其中单生左理想的每个非空集合都有极大元素和最小元素（以便满足 a 的等价条件），即使虽然 A 既不是左阿廷的也不是左诺特的（使用习题 3）。

c) 设 M 为模。如果M的有限生成的子模中的每个非空集合都有极大元素，则M是诺特。

d) 给出一个非 Artinian 模块的例，其中有限生成的子模中的每个非空集合都有一个最小的元素。