习题 10, § 10

对于环 A，用 $\mathscr{N}(A)$ 表示 A 的伪子环的集合，其元素都是幂零的，并用 $\mathscr{N}_{max}(A)$ 表示 $\mathscr{N}(A)$ 的极大元素的集合。

a) 令 D 为域和 $n$ 整数。证明$\mathscr{N}_{max}(\mathbf{M}_n(D))$由伪环$gTg^{-1}$组成，其中$g$是$\mathbf{M}_n(D)$的可逆元，T是矩阵$(a_{ij})\in \mathbf{M}_n(D)$的集合，使得$a_{ij}= 0$代表$i\geqslant j$（使用习题2） VIII、p. 14）。 b) 设 A 为阿廷环和 $\pi : A\rightarrow A/\mathfrak{R}(A)$ 典范映射。显示从 $\mathscr{N}_{max}(A)$ 到 $\mathscr{N}_{max}(A/\mathfrak{R}(A))$ 映射 $P\mapsto \pi (P)$ 定义双射。由a)推导出$\mathscr{N}_{max}(A)$的元素的交等于$\mathfrak{R}(A)$，且$\mathscr{N}_{max}(A)$的任意两个元素通过A的内自同构相互变换。