习题 4, § 10

如果对于 A 的每个元素 $a$，存在 A 的整数 $n$ 和元素 $x$ 使得 $a^nxa^n=a^n$，环 A 称为伪正则。 绝对平坦环 (VIII, p. 171, 习题 27) 是伪正则。

a) 证明伪正则环是Zorn环（VIII，p. 171，习题26），其中每个不可逆元素都是左零因子。

b) 证明伪正则环的每个商环都是伪正则 (cf. VIII, p. 171, 习题 27, d))。

c) 证明伪正则环 A 的中心 Z 是伪正则（证明如果 $a\in Z$ 和 $x\in A$ 满足 $a^nxa^n=a^n$，则对于每个 $k\geqslant 1$，$a^{2n}x^k$ 属于到 Z）。

d) 设$p$为素数数，$U_p$为群$\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$的$p$主成分，A为群$U_p$在域上的（交换）代数 $\mathbf{F}_p$。证明环 A 是伪正则的，但 $A^{\mathbf{N}}$ 不是。