习题 5, § 10

令$n$为整数。如果对于 A 的每个元素 $a$，都存在一个 $x\in A$ 使得 $xa^{n+1}=a^n$，则环 A 称为$n$-正则。

a) 假设 A 是$n$-正则。证明对于 $\mathfrak{R}(A)$ 的每元素 $r$，我们都有 $r^n= 0$。

b) 证明$n$正则本原环在域上与矩阵环$\mathbf{M}_r(D)$同构的，且具有$r\leqslant n$。 （观察一下，如果V中V是维数$> n$和$e$非零向量的D-向量空间，则End$_D(V)$包含元素的每稠密子环 $u$使得$u^n(e)\not= 0$和$u^{n+1}(e) = 0.$)

c) 证明$n$正则环是Zorn环（VIII，p. 171，习题26）。 （首先，观察关系$xa^{n+1}=a^n$蕴含$x^na^{2n}=a^n$。使用VIII、p. 168的b）、习题12、a）和VIII、p. 27的命题2，推导出我们有$a^nx^na^n-a^n\in$$\mathfrak{R}(A)$。最后，利用VIII、p. 159的引理 1，证明如果满足、$y=zy^2$和$yzy-y\in \mathfrak{R}$(A)的两个元素、$y$和$z$，则存在一个$t\in A$使得$y=ty^2$ 和 $(ty)^2=ty.)$ 如果环 A 而且没有根式，那么它是伪正则 (习题 4)。

d) 设 A 为环，除了 0 之外没有幂零元。则 A 是 $n$ 正则当且仅当它绝对平坦。

（如果A绝对平坦，则使用VIII、p. 171的习题27、b）。如果 A 是 $n$-正则，首先根据上面的记号观察，$e=x^na^n$ 是幂等的，因此是 VIII、p. 172 的中心 (习题 30, a)，并且我们有 $ea=a$，因此 A 是 1-正则。然后用问题a）和问题b）证明A与域的乘积的子环同构，并推导出关系$xa^{n+1}=a^n$蕴涵$axa=a.)$