习题 7, § 10

设 A 为阿廷环，$\mathfrak{r}$ 其根式，$\overline{A}$ 环 $A/\mathfrak{r}$。令 $\mathfrak{l}$ 为非幂零不可分解左理想；我们有 $\mathfrak{l}= Ae$，其中 $e$ 是 A 中的幂等。

a) 证明理想的$\mathfrak{n}=\mathfrak{l}\cap \mathfrak{r}$是$\mathfrak{l}$唯一的极大子模。 A-模 $\mathfrak{l}/\mathfrak{n}$ 是简单的，并且与 $A\overline{e}$ 同构，其中 $\overline{e}$ 是 A 中 $e$ 的像。

b) 设 M 为 A-模。那么$(Ae)M$是M的子模，$e((Ae)M)=eM$是$eAe$模。如果 N 是 M 的 A-子模，则 $eAe$ 模 $e(M/N)$ 和 $eM/eN$ 是同构的。如果 A-模 M 是简单的，那么我们要么有 $eM = 0$，要么 M 与 $A\overline{e}$ 同构，并且 $eM$ 是一个简单的 $eAe$ 模。

c) 证明$eAe$模$eM$的长度等于与$A\overline{e}$同构的A-模M的Jordan–Hölder级数的商的数。

d) 假设 M 具有有限长度并承认唯一的极大子模 N，并且 $M/N$ 同构于 $\mathfrak{l}/\mathfrak{n}$。证明 M 与 $Ae$ 的商同构（观察 $eM$ 的元素 $x$ 不属于与 N 生成 M）。