习题 9, § 10

设A为阿廷环，其根部$\mathfrak{r}$包含在中心中。

a) 证明 $A/\mathfrak{r}$ 提升中的每个中心幂等到 A 中的中心幂等（如果 $e$ 是 A 中的幂等，且中心类在 $A/\mathfrak{r}$ 中，则表示对于每个 $x\in A$，$e$ 与 $xe-ex$ 交换）。

b) 如果$\mathfrak{r}$是非零的，证明$A/\mathfrak{r}$是可交换的（观察对于$x\in A,y\in A$和$z\in \mathfrak{r}$我们有关系$(xy-yx)z= 0$）。

c) 从a) 和b) 推导出A 同构于半单环的乘积以及局部环 $A_i$ 的有限族，使得域 $A_i/\mathfrak{R}(A_i)$ 是可交换的。 d) 证明每个单A-模同构于A的最小左理想。