习题 1, § 12

设A和B为K-代数，M为A-模；将$M\otimes B$视为模超过代数$C = A\otimes B$。 认同 M，A-子模为 $M\otimes B$。

a) 证明包含$M\cap \mathfrak{R}_C(M\otimes B)\subset \mathfrak{R}_A(M)$（考虑从M到单A-模的A线性同态）。

b) 证明在以下每种情况下我们都有等式：

(i) A 是 K 上的有限维。

(ii) A-模 M 是有限生成的，并且 A 是子代数的右有向族的并，该族在 K 上是有限维的。

(iii) $M = A_s$，A 的自由基是幂幂的。

（在情况（i）中，可以证明从$M\otimes B$到简单的C模块S的每个同态在$\mathfrak{R}_A$（M）上都是零，通过注意到证明$\mathfrak{R}_C(S)$是零。）