习题 12, § 12

令 $A_1$ 为 K-代数 $K(X)[U]_{1,d/dX}$ (VIII, p. 11)、$A_2$ K-代数 K[[T]] 和 A K-代数 $A_1\otimes_KA_2$。 认同 $A_1$ 和 $A_2$ 以及 A 的子代数。

a) 证明$A_2$是A的中心，A不包含任何零因子，并且A的可逆元是$A_2$的可逆元。

b) 证明 A 的两侧理想是 $n\geqslant 0$ 的理想 AT$^n$。

c) 证明环 A 是原始的，即使虽然其中心有非零的根式（观察包含 $1-$ TU 的最大左理想不包含除 0 之外的任何两侧理想）。