习题 17, § 12

设 K 为交换域、D 和 E 域，其中中心包含 K。假设 $[E : K] =m$ 是有限的，且域 D 和 E 之一的中心等于 K。K-代数 $D\otimes_KE$ 同构于内同态代数中的有限维向量空间 $h$ 超过域 C（VIII、p. 222，推论 2）。

a) 证明 $h$ 除 $m$ (cf. VIII, p. 205, 公式 (32))。 b) 令 W 大于 D 的向量空间；则 E 同构于 End$_D(W)$ 的 K-子代数当且仅当 W 的维数无限大或 $m/h$ 的倍数（注那么 W 是一个 $(D\otimes_K$ E)-模）。

c) 证明如果 [D : K] 是有限的且与$m$素的，则$D\otimes_KE$是域（应用a））。