习题 9, § 12

设 A 和 B 为 K-代数，M 自由A-模，N B-模。

a) 证明从End$_A(M)\otimes$End$_B(N)$到End$_{A\otimes B}(M\otimes N)$的典范同态$\vartheta$的像是环End$_{A\otimes B}(M\otimes N)$的稠密子环。

b) 如果 B-模 N 的同位性环在其双交换体中是稠密的，那么对于 $(A\otimes$ B)-模 $M\otimes N$ 的同位性环也是如此。

c) 假设存在N的元素$y$和N的自同态序列$(v_n)$，使得元素$v_n(y)$生成无限维向量空间超过K。证明映射$\vartheta$是不是主观的。