习题 10, § 13

设 K 为交换环，A K-代数，P 为 $(A$，A) 双模。 A 与 P 的扩张是三元组 $(B, i, p)$，其中 B 是 K-代数、K-代数的$p: B\rightarrow A$ 满同态，以及 $i: P\rightarrow B$ 具有像 Ker $p$ 的单射 K 线性同态， 满足$i(p(b)x) =b i(x)$和$i(x p(b)) =i(x)b$对应于$x\in P$和$b\in B$。从扩张$(B, i, p)$到扩张$(B', i', p')$的同构是K-代数$u: B\rightarrow B'$中的同构，使得$p'\circ u=p$和$u\circ i=i'$。

a) 令$(B, i, p)$为A乘P的扩张； $i$的像是B与平方为零的双面理想。相反，如果$p: B\rightarrow A$是K-代数的满同态，其中核P有平方为零，并且$i$是P到B的典范嵌入，则三元组$(B, i, p)$是A与P的扩张。

b) 令$i_0: P\rightarrow A\oplus P$和$p_0: A\oplus P\rightarrow A$为典范映射。在$A\oplus P$上存在唯一的K-代数结构，使得$(A\oplus P, i_0, p_0)$是P对A的扩张。证明这个扩张的自同构群可以用从A到P的K-导数的群来识别。

c) 令 $(B, i, p)$ 为 A 与 P 的扩张。证明以下条件是等价的：

(i) 扩张 $(B, i, p)$ 同构于扩张 $(A\oplus P, i_0, p_0)$。

(ii) 存在K-代数$s: A\rightarrow B$中的同态使得$p\circ s=$Id$_A$。

(iii) B 存在子代数 S，使得$B = S\oplus i(P)$。

如果满足这些条件，那么我们说扩张$(B, i, p)$是微不足道的。 d) 令$(B, i, p)$和$(B', i', p')$为A与P的扩张。令C为元素$(b, b')$的$B\times B'$由……组成的子代数，使得$p(b) =p'(b')$，让$\mathfrak{c}$是元素$(i(x),-i'(x))$对于$x\in P$的C由……组成的双面理想，并且令$B''$为代数$C/\mathfrak{c}$和$\pi : C\rightarrow B''$典范同态。令$i'': P\rightarrow B''$和$p'': B''\rightarrow A$为由$i''(x) =\pi (i(x),0)$和$p''(\pi (b, b')) =$$p(b)$对于$x\in P,b\in B,b'\in B'$定义的同态。通过P证明A的$(B'', i'', p'')$是扩张；它被称为$(B, i, p)$和$(B', i', p')$的粘合和。因此，证明我们通过 P 在 A 的扩张的同构类的集合 Ex$_K(A,P)$ 上实现定义交换群运算，其中性元素是平凡扩张的类。此外，对于Ex$_K(A,P)$上的$\lambda \in K,\lambda \not= 0$定义K-模结构，Ex$_K(A,P)$上的K的作用由$\lambda (B, i, p) = (B, \lambda^{-1}i, p)$给出。

e) 令$u: P\rightarrow P'$为$(A$，A)-双模的同态，并令$(B, i, p)$为P的A的扩张。令$B'$为粘合和$B\oplus_PP'$(II, §1，p. 381， 习题5);对于$b\in B, x'\in P'$，用$[b, x']$表示$B'$中$(b, x')$的类。令 $i': P'\rightarrow B',p': B'\rightarrow A$ 和 $v: B\rightarrow B'$ 为映射定义

证明$B'$上存在唯一代数结构，使得$(B', i', p')$是A的$P'$和$v$代数同态的扩张。我们说$(B', i', p')$是由$P'$从$(B, i, p)$经$u$推导出A的扩张； A 的每一个扩张 $(C, j, q)$ $P'$ 都存在代数同态 $w: B\rightarrow C$ 满足 $q\circ w=p$ 并且 $w\circ i=j\circ v$ 同构于 $(B', i', p')$。

f ) 映射Hom$_{(A,A)}(P,P')\times$Ex$_K(A,P)\rightarrow$Ex$_K(A,P')$将对$(u,(B, i, p))$发送到从$(B, i, p)$经$u$推导出的扩张的类是K双线性的。 g) 设$f: A'\rightarrow A$为K-代数同态，并令$(B, i, p)$为P的A的扩张。定义同样在纤维乘积$B''= B\times_AA'$上为代数的结构并且P 的 $A'$ 的扩张 $(B'', i'', p'')$，据说是从 $(B, i, p)$ 通过 $f$ 推导出来的。

h) 此外，假设代数 A 是可交换的。通过 P 证明 A 的扩张 $(B, i, p)$ 的类，使得代数 B 是可交换的形式 Ex$_K(A,P)$ 的 K 子模，我们用 Ex$^c_K(A,P)$ 表示。