习题 11, § 13

a) 令 $f$ 为 $C^2(A,P)$ (VIII, p. 239) 的元素。证明我们通过设定$(a, x)(a', x') =$$(aa', ax'+xa'+f(a, a'))$在K-模$A\oplus P$上代数定义结构。 典范嵌入$i: P\rightarrow A\oplus P$和典范满射$p: A\oplus P\rightarrow A$是环同态，三元组$(A\oplus P, i, p)$是A乘P的扩张（注意对于每个$a\in A$我们有$f(a,1) =af(1,1)$和$f(1, a) =f(1,1)a$）。

b) 证明这个扩张的同构类仅依赖于$H^2(A,P)$中$f$的类。所以a)中的构造从$H^2(A,P)$到A的扩张的Ex$_K(A,P)$由……组成通过P到K-模的定义同构是平凡的K-模的扩张。

c) 假设环 A 是可交换的； denote by $C^2(A,P)^s$ the K-submodule of $C^2(A,P)$ 由……组成 of 元素 $f$ such that $f(x, y) =f(y, x)$ for all $x, y$ in A and by $H^2(A,P)^s$ 像 of $C^2(A,P)^s$ in $H^2(A,P)$. Prove that 同构 in b) 诱导同构 from $H^2(A,P)^s$ to the K-submodule of Ex$^c_K(A,P)$ 由……组成 of the commutative 扩张 of A by P that are trivial as 扩张 of K-模.