习题 6, § 13

设 K 为 K 的交换域且 E 扩张。证明以下性质是等价的：

(i) 对于 K 的每个可分扩张 L，环 $E_{(L)}$ 是半单。

(ii) 域 E 是有限次数 K 的可分扩张纯粹不可分离的延伸。

（假设（i），利用V, §2、p. 146的V, §17, No. 2、p. 140和习题 4的推论证明E是K的代数扩张。 然后证明E中K的可分闭包$E_s$有有限次数。 为此，注，在相反的情况下，环$E_{(L)}$，其中L是K的可分闭包，将包含正交幂等族$(e_1, . . . , e_n)$与任意大的$n$。 假设(ii)，证明若$E_{s(L)}$与$\prod^r_{j=1}C_j$同构的，则$E_{(L)}$与$\prod^r_{j=1}D_j$同构的，其中$D_j$是$C_j.$的纯不可分外延）