习题 2, § 14

设K为交换域，A K-代数$\mathbf{M}_5$(K)，形式矩阵B子代数

$x$ 0 0

0 是 0,

0 0 是

以及形式矩阵 C 子代数

$x$ 0 0 0

0 $x$ 0 0

,

0 0 $x$ 0

0 0 0 是

其中$x$穿过K，Y穿过代数$\mathbf{M}_2(K)$。证明 B 和 C 是 A 的半单代数包含中心 Z。然后，证明 K-代数 $f: B\rightarrow C$ 存在同构，留下 Z 的不变量元素，但不存在 A 的任何自同构延伸$f$（观察这样的自同构必须将B的简单组件发送到C的简单组件）。