习题 1, § 16

令 G 为 G 在 $\mathbf{Z}$ 上的群和 $\mathbf{Z}[G]$ 代数；我们认同 G 与典范基 $\mathbf{Z}[G]$。令 M 为 $\mathbf{Z}$[G]-模，即阿贝尔的群赋予 G 的作用尊重其群结构。对于任意整数$n\geqslant 0$，用映射中的$C^n(G,M)$群表示，从$G^n$到M； 集合 $C^n(G,M) = 0$ $n <0$。 定义同态$d^n: C^n(G,M)\rightarrow C^{n+1}(G,M)$由公式

对于任意整数 $n$、集合 $Z^n(G,M) =$ Ker $d^n$ 和 $B^n(G,M) =$ Im $d^n$。

a) 证明$B^n(G,M)$包含在$Z^n(G,M)$中。

集合$H^n(G,M) = Z^n(G,M)/B^n(G,M)$。 群$H^0(G,M)$是由G的作用固定的M的元素集合。群$Z^1(G,M)$是映射$f: G\rightarrow M$满足群 $f(gg') =f(g) +g f(g')$，$B^1(G,M)$是映射$f$的子群，其中存在$m\in M$使得$f(g) =gm-m$（cf.I, §6，p. 148，习题7）。

b) 令 N 为 $\mathbf{Z}$[G]-模和 $u: M\rightarrow N$ $\mathbf{Z}$[G]-线性映射。对于每个整数$n$，映射$c\mapsto u\circ c$是从$C^n(G,M)$到$C^n(G,N)$的同态，将$Z^n(G,M)$发送到$Z^n(G,N)$并将$B^n(G,M)$发送到$B^n(G,N)$，因此诱导同态从$H^n(G,M)$到$H^n(G,N)$，我们用$H^n(G, u)$或简称为$H^n(u)$表示。如果 $v: N\rightarrow P$ 是 $\mathbf{Z}$[G]-模块中的同态，那么我们就有 $H^n(v\circ u) = H^n(v)\circ H^n(u)$。

c) 设$0\rightarrow M'\rightarrow^{\iota}M\rightarrow^{\pi}M''\rightarrow 0$为$\mathbf{Z}$[G]-模块的正合序列。令$n$为整数和$H^n(G,M'')$的$x''$元素，元素$c''\in$$Z^n(G,M'')$的类。设$c\in C^n(G,M)$使得$\pi \circ c=c''$。证明存在元素 $c'\in Z^{n+1}(G,M')$，使得$\iota \circ c'=d^n(c)$且$H^{n+1}(G,M')$中$c'$的类仅依赖于$x''$；我们用$\partial^n(x'')$表示类。 映射 $\partial^n: H^n(G,M'')\rightarrow H^{n+1}(G,M')$ 是同态（“链接同态”）。证明序列

$n'H^n(\iota )nH^n(\pi )n''\partial^nn+1'$

$\cdots \longrightarrow H(G,M)\longrightarrow H(G,M)\longrightarrow$ 高$(G,M)\longrightarrow H(G,M)\longrightarrow \cdots$

是准确的。