习题 12, § 16

设 A 为交换环。通过设定 cl(S) cl(T) = cl(S $\otimes_AT$) 将Azumaya A-代数 (VIII, p. 270, 习题 8) 的同构类的集合赋予幺半群的结构。

a) 证明森田等价的商幺半群是阿贝尔的群；我们用 Br(A) 表示它，并称其为 A 的布劳尔群（当 A 为域时，此定义重合与VIII、p. 279 中给出的值）。用 Br(A) 中 Azumaya A-代数 S 的 [S] 类表示。 Br(A) 的单位元素是 A 的类，元素 [S] 的倒数是 $[S^o]$。

b) 令 S 为 Azumaya A-代数。我们有 [S] = [A] 当且仅当存在一个有限生成的、投影的、忠实的 A-模 P，使得 S 同构于 End$_A(P)$。

c) 设 B 是可交换的 A-代数。 定义群同态 $r_{B/A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br(B)，使得对于每个 Azumaya A-代数 S 都有 $r_{B/A}([S]) = [S_{(B)}]$。我们用 Br(B$/A$) 表示这个同态的核。