习题 13, § 16

设 A 为交换环，B 为可交换的 A-代数，G 有限群为 A-代数 B 的自同构。假设 B 是有限生成的、射影的、忠实的 A-模，并且由 $\psi (b\otimes b') = (\sigma (b)b')_{\sigma\in G}$ 定义的 A 线性同态 $\psi : B\otimes_AB\rightarrow B^G$ 是双射的。

a) 令N为B-模，赋予同态$\sigma \mapsto u_{\sigma}$从G到Aut$_A(N)$满足$u_{\sigma}(bx) =\sigma (b)u_{\sigma}(x)$对于$\sigma \in G,b\in B,x\in N$。令 M 为元素 $x$ 的 N 由……组成的 A-子模，使得对于每个 $\sigma \in G$ 都有 $u_{\sigma}(x) =x$。通过置换证明当 B 为乘积代数 $A^G$ 且 G 作用于其上时，规范 B-同态 $B\otimes_AM\rightarrow N$ 是VIII、p. 270 至约化的双射（使用习题 7, d） 因子）。

b) 设 S 为 B 代数 $S_{(B)}$ 的 A-代数和 M 自同构群，G 通过 $^{\sigma}\varphi =$ (Id$_S\otimes \sigma$ )$\circ \varphi \circ$ (Id$_S\otimes \sigma$ )$^{-1}$ 作用。从对 $(T, u)$ 的同构类的集合到习题 6 的扩展构造到定义双射，其中 T 为 A-代数和 $u$ 同构从$T_{(B)}$到$S_{(B)}$，到集合$Z^1(G,M)$，以及从A-代数T的同构类的集合双射，使得B代数$T_{(B)}$和$S_{(B)}$ 与 $H^1(G,M)$ 同构的。

c) 假设从现在开始每个射影B-模都是免费的。将习题 8 的推理改编为构造同构 $\theta :$ Br(B$/A$)$\rightarrow H^2(G,B^*)$。