习题 16, § 16

a) 证明从 Br(K) 到 Br(K[X]) 的直因子同态 $r_{K[X]/K}:$ Br(K) $\rightarrow$ Br(K[X]) 诱导同构。

$*$b) 假设域 K 是完美的。证明$r_{K[X]/K}$是同构（从Tsen的定理（VIII，p. 360，习题7）推导出Br（K[X]）是群的并 Br(L[X]$/K[X]$)，其中L穿过有限次数的K的伽罗瓦扩张，然后应用习题13)。

c) 设 A 为正则 $\mathbf{Q}$ 代数，即整环。证明同态 $r_{A[X]/A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br(A[X]) 是双射（使用 b）和习题 15 证明同态(A[X]) $\rightarrow$ Br(A) 从满射推出$P\mapsto P(0)$ 是单射）。$*$

d) 假设K具有特征$p >0$且不完美；让 $\theta \in K$ - $K^p$。将 B = K[U] 视为通过由 $\rho (X) = U^p-U$ 确定的同态 $\rho : K[X]\rightarrow B$ 的 K[X]-代数。令 $\sigma$ 为该 K[X]-代数的自同构，使得 $\sigma (U) = U + 1$，并令 S 为 $B[V]_{\sigma}$ (VIII, p. 11) 与两侧理想的商 K[X]-代数$B(V^p-\theta )$。令 L 为 K[X]-代数，即交换域。证明如果等式$y^p-y= X$在L中有解，那么$S_{(L)}$是矩阵代数超过L（让$L'= L[t]/(t^p-\theta )$;考虑同态$S\rightarrow$发送V的End$_L(L')$通过 $t$ 到乘法 $m_t$，U 到 $m_y-D$，其中 D 是 $L'$ 的 L 导数，使得 $D(t) =t$）。在相反的情况下，$S_{(L)}$是中心简单的L代数；当且仅当 $\theta$ 是扩张 $L[Y]/(Y^p-Y-X)$ 元素范数 L 时，它才是矩阵代数（应用习题 11）。

推断 S 是东谷 K[X]-代数，且 Br(K[X]) 中的类并非来自 Br(K)（取 L = K(X)）。