习题 3, § 16

设 G 为群，M 为 $\mathbf{Z}$[G]-模。让 G 通过将 $(g, f)\in G\times C^1(G,M)$ 发送到 G 上的函数 $h\mapsto gf(g^{-1}h)$ 来作用于 $C^1(G,M)$。回想一下 (I, §6, p. 149, 习题 8)，M 上的 G 均值是$\mathbf{Z}$[G]-线性映射 $\mu: C^1(G,M)\rightarrow M$ 满足 $\mu(c_x) =x$，其中$c_x$表示常数函数和值$x\in M$。

a) 证明如果 M 承认 G 均值，则对于 $n\geqslant 1$，$H^n(G,M)$ 是零。 （对于$q\geqslant 1$，令$h^q: C^q(G,M)\rightarrow C^{q-1}(G,M)$为以下同态：对于G中的$g_1, . . . , g_{q-1}$和$c\in C^q(G,M)$，定义$h^q(c)(g_1, . . . , g_{q-1})$为像除以函数$g\mapsto c(g_1, . . . , g_{q-1},(g_1\cdots g_{q-1})^{-1}g)$的$\mu$。证明等式$h^{q+1}\circ d^q+d^{q-1}\circ h^q=$$1_{C^q(G,M)}.$)

b) 设 A 为阿贝尔的群；由G到A的映射的$\mathscr{F}(G,A)$群表示，赋予G的作用，由G中的$g, h$的$^gf(h) =f(hg)$和$\mathscr{F}(G,A)$中的$f$定义。对于从G到$\mathscr{F}(G,A)$的任何映射$c$，用从G到A的$\mu(c)$映射$g\mapsto c(g^{-1})(g)$表示。证明$\mu$是$\mathscr{F}(G,A)$上的G均值；因此，我们有 $H^q(G,\mathscr{F}(G,A)) = 0$ 对应 $q\geqslant 1$。

c) 设$j: M\rightarrow \mathscr{F}(G,M)$为将M的元素$m$发送到函数$g\mapsto gm$的映射，并令$M'$为其余核。证明 $j$ 是单射且 $\mathbf{Z}[G]$ 是线性的。推断同态 $\partial^q: H^q(G,M')\rightarrow H^{q+1}(G,M)$ 是 $q\geqslant 1$ 的双射。

d) 设L为交换域K的有限伽罗瓦扩张，G为其伽罗瓦群。从 b) 和正常的基定理 (V, §10, No. 9, p. 73) 推导出群 $H^n(G,L)$ 对于$n\geqslant 1$ 是零。