习题 4, § 16

设G为G的群和H子群。对于任何$\mathbf{Z}$[H]-模N，用$\widetilde{N}$群Hom$_{\mathbf{Z}[H]}(\mathbf{Z}[G],N)$表示，赋予从右侧$\mathbf{Z}$[G]-模结构推导出的$\mathbf{Z}$[G]-模结构$\mathbf{Z}[G]$。

a) 证明$\widetilde{N}$可以与$\mathscr{F}(G,N)$ (习题 3) 由……组成的映射 $f$的$\mathbf{Z}$[G]子模进行识别，使得对于每个$h\in H$和$g\in G$都有$f(hg) =hf(g)$。如果 A 是阿贝尔的群，则 $\mathbf{Z}$[G]-模 $\mathscr{F}\widetilde{(H},A)$ 与 $\mathscr{F}(G,A)$ 自然同构。

b) 令$0\rightarrow N'\rightarrow^iN\overset{p}{\rightarrow}N''\rightarrow 0$为$\mathbf{Z}$[H]-模块中的正合序列； 序列

$'$ 坎(1$,i$) 坎(1$,p$)$''$

是精确的（观察$\mathbf{Z}$[H]-模块$\mathbf{Z}[G]$是免费的）。

c) 设$u_N:\widetilde{N}\rightarrow N$为映射$f\mapsto f(1)$；它与典范嵌入 $i: H\rightarrow G$ (习题 2) 相容的。证明同态

对于每个 $q\geqslant 0$ 都是双射的（首先处理情况 $q= 0$，然后使用上述方法在 $q$ 上通过归纳进行推理；习题 3，c）；和习题 2, c))。

d) 假设 H 在 G 中具有有限的指标 $n$。令 M 为$\mathbf{Z}$[G]-模，我们将其视为由限制标量组成的 $\mathbf{Z}$[H]-模。让$f\in \widetilde{M}$； 元素 $g^{-1}f(g)$ 仅取决于 $g$ 的右类 $Hg$。 集合$\pi (f) =\sum_{Hg\in H\backslash G}g^{-1}f(g)$。证明$\pi$是从$\widetilde{M}$到M的$\mathbf{Z}$[G]-线性同态。对于任何整数$q\geqslant 0$，用Cor$^q: H^q(H,M)\rightarrow H^q(G,M)$同态$H^q(\pi )\circ H^q(i, u_M)^{-1}$（“上限制同态”）表示。

e) 证明$H^q(G,M)$的自同态Cor$^q\circ$Res$^q$乘以$n$等于乘法（首先处理情况$q= 0$，然后按照c）的证明处理一般情况）。 f) 假设 G 是有限的；证明对于每个$\mathbf{Z}$[G]-模M和每个整数$q\geqslant 1$，群$H^q(G,M)$被G的阶湮灭。